İlgili Makaleler
Matematikte geçmişten günümüze değiştirilemeyen bazı kurallar vardır. Bunlardan biri, bir sayıyı asla sıfıra bölemeyeceğinizdir. Sıfıra bölündüğünde sayının sonsuz mu yoksa tanımsız mı olduğu sorusuna cevap vereceğimiz yazımızda sizlerleyiz.
Matematiğin kendisi ilginç bir bilimdir çünkü doğanın en eski gizemlerine ışık tutar. Sıfır sayısının matematikte de özel bir yeri vardır, bu kimileri için zor, kimileri için çok eğlenceli bir ders. Çünkü akılda kalan matematiksel kurallardan biri, bir sayıyı sıfıra bölememenizdir. Gerçek sayılarda, yani sayı doğrusundaki tüm sayılar kümesinde bir sayının sıfıra bölünmesi, okullarda tanımsız olarak öğretildik. Bir sayıyı sıfıra bölerseniz sonucun neden tanımsız olacağını hiç merak ettiniz mi? Gelin bu sorunun cevabına birlikte bakalım.
Neden bir sayı 0'a bölünmez?
Sıfıra bölünen herhangi bir gerçek sayı tanımsızdır. Sıfırla bölme, bölmede tanımlanmaz. Aynı zamanda sonsuz da değildir. Bölümün sonucu, pozitif sonsuz veya negatif sonsuz olabilir. Her iki sonsuz da gerçek bir sayı belirtmez, bu yüzden kesinlikle sıfırın üzerindeki sayının tanımsız olduğunu söyleyebiliriz.
Örneğin, 10 sayısını sıfıra böldüğünüzde ne elde edeceğinizi düşünmek; 10'u 5'e bölerek başlayalım. Bu sürecin cevabı 2'dir. Peki ya 10'u daha küçük bir sayıya, 2'ye bölerseniz? Büyük sayı 5'i elde edersiniz. 10 bölü 1'e ne dersiniz?
Yine daha büyük bir rakam çıkıyor. 10 bölü ½ 20'dir. 40'a bölündüğünde; 1 / 32'ye bölündüğünde 320 yapar. Daha küçük bir sayıya böldüğünüzde karşılığında daha büyük bir sayı elde edersiniz. Yani bölen sayısı 0'a yaklaştıkça; cevabınız sonsuza çok yaklaşıyor. Yani aslında 10'u 0'a bölerseniz sonsuzluk elde edersiniz, değil mi?
Bu işlemde sadece sonuç almak için bir limit alabilirsiniz. (Sayı / X) x sıfıra giderken ve bu fonksiyonun davranışını inceleyebilirsiniz. Ancak burada tek bir sınır değeri de yoktur çünkü sınırlar sağdan ve soldan farklıdır. Sağdan sıfıra yaklaştıkça, fonksiyonun değeri pozitif olarak sonsuza doğru hareket eder. Sonsuz bir kısaltmadır, yani sonucun herhangi bir gerçek sayıdan daha yüksek olduğu anlamına gelir, sürekli olarak büyür ve bu nedenle asla bilinmez. Söyleyebileceğiniz tek şey, istediğiniz gerçek sayıdan daha büyük bir sonuç alabileceğinizdir.
Soldan sıfıra yaklaşıldığında, durum negatif yönde aynıdır. Sayı mutlak değerde çok büyük olur, ancak negatiftir, dolayısıyla küçülür. Belirleyebileceğiniz herhangi bir negatif gerçek sayıdan daha küçük bir sayıdır, dolayısıyla eksi sonsuzdur denir. Dediğimiz gibi X / 0'ın değeri yoktur, tanımlı bir işlem değildir. Asla sıfıra bölemezsiniz.
Sonsuz, gerçek sayılar kümesinde tanımlanan bir sayı olmadığından, kesinlikle tanımsızdır. Sıfır üzeri sıfır sonsuza birdir, sonsuz üzeri sonsuz, sonsuz eksi sonsuz belirsizliktir. Tanımsız değil. Bu işlemleri yapabilmek için belirsizliğe neden olan durumu ortadan kaldırıp sonucu bulabiliriz.
Sıfıra bölme, cevabını bulamadığınız bir işlemdir, dolayısıyla işlemin sonucu tanımsızdır. Bölme ve çarpma arasındaki ilişkiye bakarsak, nedenini anlayabilirsiniz. 6'yı 3'e bölerseniz, cevap 2'dir, çünkü 2 çarpı 3 = 6. 6'yı sıfıra bölerseniz, "Hangi sayı sıfır çarpı 6'yı verir?" Soruyu sen sor. Bunun cevabı elbette bir sayı değil, çünkü herhangi bir gerçek sayının sıfır çarpı sıfırın 6 olmadığını biliyoruz. Bu yüzden sıfıra bölmenin tanımsız olduğunu söylüyoruz, çünkü diğer sayılara bölmek tutarlı değildir.
Riemann Küresi ve Stereografik Yansıma
Her yönde sonsuza giden ve ortasında merkezi olmayan iki boyutlu bir düzlem olduğunu düşünün. Şimdi bu düzlemi büküp bir küreye dönüştürdüğünüze ve sıfırın güney kutbu olduğuna göre, köşeler en üsttedir; Kuzey kutbunun olduğu yerde birleştiğini hayal edin. Şimdi, başka bir sonsuz iki boyutlu düzlem alın ve onu ekvatoru geçecek şekilde yerleştirin. Bu düzlemde seçtiğiniz herhangi bir nokta, kürenin Kuzey Kutbu'na düz bir çizgi ile bağlanabilir. Seçtiğiniz nokta kürenin dışındaysa; bağlantı hattı dünyayı kuzey yarımkürede kesecek. Kürenin içindeyse, güney yarımkürede kesişecektir. Hayal ettiğiniz şey bir Riemann Küresi. Düzlemdeki her noktayı küredeki bir kesişme noktasıyla ilişkilendirmeyi içeren bu yönteme stereografik izdüşüm denir. Temel olarak, küre üzerinde bulabileceğiniz düzlemde herhangi bir noktayı bulabilirsiniz. Bu sonsuzluğu içerir. Düzlemde sonsuzluğa yaklaştıkça, kürenin Kuzey Kutbu'na yaklaşırsınız.
Başka bir örnekle açıklamak gerekirse;
Portakallara elma eklerseniz ne olur? Elbette bir anlam ifade etmiyor, bu yüzden en kolay şey bir anlam ifade etmediğini veya bir matematikçinin dediği gibi "tanımsız" olduğunu söylemektir. Belki de ona bakmanın en iyi yolu budur. Matematikte "XYZ işlemi tanımsız" gibi bir ifade gördüğünüzde, bunu "XYZ işlemi anlamsız" olarak düşünebilirsiniz.
Bunu düşünmenin bir başka yolu da bir kutuyu elmalarla doldurmayı hayal etmektir. Bir kutuda 100 elma olduğunu varsayalım. Şimdi bu elmaları yarım boy elmalarla doldurmayı deneyin. Kutuya 200 elma koyabilirsiniz. Şimdi hiç yer kaplamayan özel, sihirli bir elma hayal edin. Kutuya kaç tane koyabilirsiniz?
Bu sürece cevap yok. Bu nedenle matematikçiler sayıları 0'a bölünerek "tanımsız" olarak adlandırır. Bazı araştırmacılar bu süreci sonsuz olarak görme eğilimindedir, ancak bu süreç tamamen doğru değildir. Her şeyden önce, bir sayının sıfıra bölünmesi ilk bakışta sonsuz olarak düşünülebilir. Bölen sayı ne kadar küçükse sonuç o kadar büyük olur. Örneğin 10 sayısını her adımda daha küçük sayılara bölersek sonucun büyüdüğünü görürüz.
10 / Bölen Numarası = Sonuç 10/1 = 10 10 / 0.1 = 100 10 / 0.01 = 1000 10 / 0.001 = 10000 10 / 0.0001 = 100000 10 / 0.00001 = 1000000 10 / 0.000001 = 10000000 İlişkiler = 10 / x = y
Gördüğünüz gibi bölen ne kadar küçükse sonuç o kadar büyük olur. Başka bir deyişle, bölen sıfıra yaklaştıkça sonuç sonsuza yaklaşır. Bu durumda, bir sayının sıfıra bölünmesi sonsuz olmalıdır.
Bunun neden doğru olmadığını anlamak için önce bölünmenin ne anlama geldiğini bilmemiz gerekir. Örneğin, 10 sayısını 2 sayısına bölersek, sonuç 5 olur. Bu işlem bize 10'da 2'nin kaç olduğunu söyler. Ayrıca bölme, matematiksel olarak çarpmanın tersidir. Bölme ve çarpma işlemlerinin sonuçlarını birbirine eşit düzenlersek çarpımsal ters kavramı ortaya çıkar.
10/5 = 2 = 10 x 1/5 10/2 = 5 = 10 x 1/2 10 / a = 10 x 1 / a
İşlemlerdeki 1 / a sayısı çarpımsal ters olarak adlandırılır. İlk işlemde 5'in çarpımsal tersi 1 / 5'tir, ikinci işlemde 2'nin çarpımsal tersi 1 / 2'dir. Yani bir sayının çarpımsal tersi 1 bölü bu sayıdır (a'nın çarpımsal tersi 1 / a'dır). Öyleyse çarpımsal ters bizim için ne yapacak? Bir sayının çarpımsal tersiyle çarpılması her zaman sonucu 1 verir.
Sayı x Çarpımsal Ters = 1 5 x 1/5 = 1 2 x 1/2 = 1 4000 x 1/4000 = 1 ax 1 / a = 1
Bu durumda sıfırın çarpımsal tersi 1/0 olmalı ve çarpımsal tersi de çarpılmalıdır. 1 (0 x 1/0 = 1) vermelidir. Sorunun ortaya çıktığı yer burasıdır. Çünkü sıfırla çarpılan bir sayı sıfırdır. Bu nedenle, sıfırın çarpımsal bir tersi yoktur. Yani 1/0 tanımsızdır. Sayıların sıfıra bölünmesi işlemlerini çarpım olarak yazarsak
5/0 = 5 x 1/0 10/0 = 10 x 1/0 -3/0 = -3 x 1/0
1/0 tanımsızdır, tüm sonuçlar tanımsızdır. Yani bir sayının sıfıra bölünmesi tanımsızdır. İlk bölümde bahsettiğim ve mantıklı görünen 1/0 = Sonsuz düşüncesi yine de mantıklı gelebilir. Ancak bu durum negatif sayılar için aynı sonucu verir. Bir sayıyı sıfıra yaklaşan negatif sayılara böldüğümüzde, sonuç negatif sonsuza yaklaşır.
10 / Negatif Bölen Sayısı = Sonuç 10 / -1 = -10 10 / -0.1 = -100 10 / -0.01 = -1000 10 / -0.001 = -10000 10 / -0.0001 = -100000 10 / – 0.00001 = -1000000 10 / – 0,000001 = -10000000 İlişki = 10 / -x = -y
Bu nedenle, 1 / 0'ın sonucu sonsuzsa, 1 / -0'ın sonucu da eksi sonsuz olmalıdır. Sıfır nötr bir sayı olduğu için, 1/0 için hem pozitif sonsuz hem de negatif sonsuz sonuçları ortaya çıkar. Pozitif sonsuz ve eksi sonsuz birbirine eşit olmadığından, bu fikrin yanlış olduğu görülüyor.
Tüm bu işlemler kafanızı karıştırıyorsa basit bir mantıktan geçelim. Önceki bölümlerde de bahsettiğim gibi, örneğin 10/5, 10'da 5'in kaç olduğunu gösterir. Buna göre 10/0 işlemi, 10'da kaç tane sıfır olduğunu göstermelidir? 10'da kaç tane sıfır vardır? 1, 10, sonsuz … bilmiyoruz çünkü sonuç matematiksel olarak tanımlanmadı. Bu nedenle, bir sayıyı sıfıra bölersek, sonuç tanımsızdır.
Bu yazıda bir sayının neden sıfıra bölünemeyeceğini tüm detaylarıyla açıklamaya çalıştık. Meraklılar için faydalı olduğunu düşündüğümüz bu yazıda, bir sayıyı sıfıra böldüğümüzde, sonuç ister belirsiz ister sonsuz olsun, ne olur sorusunun cevaplarını aradık. Bir sonraki yazımızda buluşana kadar sağlıklı kalın.